Hubbard 模型(五):自旋液体与价键固体

图一

在本系列的前面几篇文章中我们透过一些尽可能简单的物理直觉跟读者说明在 Hubbard 模型中可能的物理机制,并透过一些很简单的图画搭配简单计算来跟读者们阐述这些跳来跳去的自旋怎幺能够偏爱反铁磁(antiferromagnetism)的组态或者在某些状况下偏好铁磁性(ferromagnetism)的组态。

但严格来说,这些用两三个晶格点的组成的玩具模型,儘管可以给我们思考的切入点,但他们至多说明系统有那个理由偏好这个组态,却没有办法用这个来决定物质相,因为物质相是定义在热力学极限(thermodynamic limit)的,必得有近乎无限大的系统才算数。

笔者在之后将跟大家说明目前透过量子场论获得的相图(但我们不会涉及计算。),但在这之前,让我先为大家插播一个概念,既可以让大家明白为什幺之前的玩具模型的结论不一定能直接推广到热力学极限,也顺道介绍之后会出现的物质相:自旋液体(spin liquid)跟价键固体(valence bond solid)。

我们之前曾透过两个节点的小模型,说明在很大的交互作用位能下,相邻的费米子偏好相反方向的自旋。但让我们再想想,如果今天这个晶格变得複杂一点点,多加一个节点变成三角形,如图一所示,粒子的密度同样控制在半填满,儘管两两箭头间依旧倾向配对成相反的自旋,但这纯粹的几何限制毫无悬念地破坏了完全两两反向配对的可能性。

除此之外这个几何限制也会增加基态的简併数量,意思是,有好多个基态都会有具有一样的能量。如图一中这些小三角形,就有六个基态。如果我们考虑一个系统完全由这样的三角形组合起来,可以见得基态将会有很大的简併数,这样子的效应会克制磁性「序」(order)的形成。如果微观系统中每个费米子的自旋不大,在低温下,量子效应会是造成波动(fluctuation)的主力,这种由量子效应驱动、微观上以自旋为自由度所形成高度关联却又没有「序」的相,称为量子自旋液体(quantum spin liquid)。

讲归讲,但物理学家需要问而且回答的是,我们有没有一个波函数来具象化这种基态。更白话一点点,我们知不知道基态里自旋的分布是怎幺样的呢?

Hubbard 模型(五):自旋液体与价键固体

图二

让笔者以图二中的三角晶格为例,来尝试建构一个没有磁序,自旋 0 的基态。

我们必须注意,之前文章中的简单例子所获得的结论与图像常常只是要求两个相邻粒子自旋方向相反,并没有仔细地说这样一对自旋具有的「总自旋」是多少。事实上在上一篇文章讨论铁磁性的可能机制时,细心的读者或许有注意到,即便我放进去的费米子们带有自旋一上一下,但我依旧可以计算出自旋 1 的基态。

让我在图二中标记两个节点 A 跟 B ,所谓一上一下,可以是 A 上 B 下,也可以是 A 下 B 上。这两个波函数在 z 方向的自旋投影都是 0,但是他们的自旋却不是 0。根据量子力学的角动量相加规则,两个自旋 \(\frac{1}{2}\) 的物件放在一起,他们的总自旋根据波函数的组合方式,可以是 0 或者 1,必须由 A 上 B 下跟 A 下 B 上这两个波函数相减所形成的叠加态才是自旋 0 的态,在文献中我们习惯用一个椭圆代表(见图二),同时它也被称为价键(valence bond)。

利用价键这种自旋零物件,接下来便让我们把很多个价键排入三角形晶格中,看看可以建构出哪些态。

Hubbard 模型(五):自旋液体与价键固体

图三

具有强迫症的读者很可能会排列出如图三中的状态,这种状态下每个自旋基本上只跟他的价键伙伴有量子纠缠,这样的状态称为价键固体(valence bond solid)。既然我都称它为固体了,显然他并不是我们前面想要找的自旋液体。直觉的想法是这样规则的排列破坏了原先晶格的对称性,而就跟传统液体与固体的差别类似,液体的状态往往比固体有更高的对称性。

现在所知的描述量子自旋液体的波函数,一般称为随机价键态(random valence bond state, RVB state)。他构造的方法被描绘在图四中:我们考虑任意的价键分布,然后把所有可能的分配方法都加起来。

Hubbard 模型(五):自旋液体与价键固体

图四

若你把这样一个波函数交给笔者,我第一眼可能不会认为这是个有趣的研究课题。然而 RVB 态在近 30 年间的强关联电子系统(strongly correlated systems)却是风风火火,主因在于诺贝尔奖得主安德森(P. Anderson)在 1987 年提出这样子的波函数可能是高温超导体的关键。

在本文中,我们透过一个简单的几何结构跟读者说明为什幺前文的讨论只能提供某些直觉,却不足以让我们做出关于物质相的结论,并延伸出在三角晶格可能存在的态:自旋液体。我们也用图像讲解了如何透过节点上的自旋去建构相关的波函数,在接下来的文章中,我们将把注意力拉回定义在蜂窝状晶格的 Hubbard 模型,跟大家聊聊从量子场论中推论出的物质相。

连结:

Hubbard 模型(ㄧ):动机与定义Hubbard 模型(二):玻色 Hubbard 模型Hubbard 模型(三):费米 Hubbard 模型:简单的解析事实(上)Hubbard 模型(四):费米 Hubbard 模型:简单的解析事实(下)Hubbard 模型(五):自旋液体与价键固体

 参考资料: